哥德尔 埃舍尔 巴赫 集异璧之大成 读后感

从人类简史之后，我总是对科普读物敬而远之。那本书广为流传，但只是一袭华美的袍，上面爬满了虱子。它的态度玩世不恭。它过度泛化（这就像自私的基因）。它为了反常识而反常识。更重要的是，这些“反常识”的话对我来说其实并没有多少新异性（我从张荫麟那里借来这个词），而这种新异性同样是 Steven Pinker 的作品所缺乏的(抱歉提到另一个人. 此人最著名的作品应当是 The language instinct (语言本能))。

不过正如一个都市迷因所说，当我们从三个不一样的渠道听到同一个东西的时候，最好还是试一试。于是我第二次从图书馆取回这册比我的年龄还要大的词典，努力克服心中对数理逻辑的恐惧，尝试阅读它。最初的三四百页让我觉得非常精彩，并且有相见恨晚的感觉。如果我早点看到这本书，或许我真的会对数理逻辑感兴趣也说不定，或许我的逻辑学课程就不会学得这样差。作者广泛提到逻辑学、音乐、绘画，而且并不是浅尝辄止！看起来，他真的对这些方面有非常深刻的认识。

而且，其形式更胜于其内容。作者写“螃蟹卡农”一章对话，竟然真的和螃蟹卡农这首曲子同构。同构——这本书的主题——渗透在这本书的各个地方。名为赋格的章节真的有不同的声部演奏相同的句子，并且陈述相同的主题。就凭这些，这本书就值得一看。

在作者看来，认识到我们的意义世界中有多少同构现象存在是非常重要的。数理逻辑中的逻辑连接词 本身并没有什么意义，而是我们给它赋予了与现实世界“与”的同构。甚至，我正在写的这段文字本身也没有什么意义，只是我们将这些字符画与现实世界建立了同构关系，才产生了意义。不过，作者还是区分了内在意义和外在意义。然而，这些概念都是相对的。因为不同的解码方式可以读出不同的意义层次。最后，我们还可以从另一个方面看待同构。通常，我们用自然世界的语言来解释符号世界，但是我们也可以从符号世界出发看待自然世界！作者用非欧几何的例子，让我印象深刻。欧几里得几何学的第五公设（同旁内角为 180 度，两直线平行）似乎并不必要，但没有人证明。后来，有人提出这个公设可以废除，然后推出了若干条定理。这些定理奠定了非欧几何的基石。在这个例子中，符号世界指导了现实世界。

最重要的一种同构是自指。一种自己与自己同构的现象。哥德尔不完备性定理正是利用了这种自指。它构建出了一个表达 “这个定理无法在谓词逻辑系统中被证明” 的命题（按照书中的惯例，把这个命题称为 G ），从而震撼了整个体系。

具体来说，哥德尔不完备性定理只有在一个足够强的形式系统中才存在。形式系统可能很弱，它或许只有一个公理，那它就什么问题也解决不了，推不出任何东西。但是，如果形式系统足够强，它就不一致，也就是说，用它的公理和推理规则推不出所有为真的命题。这个形式系统至少应当具有谓词、量词和一些数论内容（比如说，数字）。

康托一个天才的想法激励了哥德尔——对角线法则。这一原则指出，实数的数量和自然数是不一样的。实数要比自然数更多一些，也就是说，它们之间是没有办法建立一一映射的。或许自然数都能被映射到实数（它们当然能），但是实数是不能映射到一个确定的自然数的。我们不妨设想一个情况可以，那么每一个自然数 0 ~ N 都对应一个实数 R（0）~ R（N），而且 N 趋向于无穷。

这个时候，我们构造一个实数，他的小数点后第一位对应 R（0） 的第一位，要求这个数字不同于 R（0）的第一位。要求小数点后第二位对应 R（1）的第二位，以此类推。最后我们就会发现，这个数字无法与任何自然数对应。或许我们可以再增加自然数的数量，让它对应这个构造出来的实数呢？没有用！因为我们可以再往后来一位，新的自然数又和以前的自然数不一样了。

好，我们回到哥德尔不完备性定理。在这里哥德尔提出了一种数字化方法——“哥德尔配数法”。这种方法可以把逻辑公式映射为数字命题。只要我们把 全都替换成数字，一个逻辑公式也就变成了一个数字。从而，它可以被代入任何与数论有关的逻辑公式里。那么，推导过程自然也可以被表示为一个数字。而我们当然可以定义一个逻辑公式，叫做存在一个证明，输入两个参数。第一个是推导过程，第二个是命题。那么当然就能表达不存在一个证明。因此，我们可以在逻辑公式中把逻辑公式作为参数。那么，当我们把“这个命题无法被证明为真”放入参数的时候，这个谓词就表达，不存在一个证明过程，达成命题 G。这里，自我的同构生产了一个为真，但是无法被证明的命题。

这说明，任何形式系统，当它足够强的时候，都是不一致的。其中充满了空洞。

关于哥德尔不完备性定理的内容是这本书的精华。围绕其的悖论、文字游戏、图画游戏都是辅助读者理解的。然而，在书的后面，陷入了逻辑学人工智能，以及作者对于自己“人类意识是一个自指”观点的过分自信。我觉得这些内容不太易读，而且随着时代变迁已经不再经典，不再 relevent，或许不看也罢。